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Máximo común divisor

11 jun

En matemáticas, se define el máximo común divisor (abreviado MCD) de dos o más números enteros al mayor número que los divide sin dejar resto. Por ejemplo, el MCD de 42 y 56 es 14.

Cálculo del MCD

Los dos métodos más utilizados para el cálculo del máximo común divisor de dos números son:

Por descomposición en factores primos

Artículo principal: Factorización de enteros.

El máximo común divisor de dos números puede calcularse determinando la descomposición en factores primos de los dos números y tomando los factores comunes elevados a la menor potencia, el producto de los cuales será el MCD. Por ejemplo, para calcular el máximo común divisor de 48 y de 60 obtenemos la factorización en factores primos

De las factorizaciones de 48 y 60:

<br />
   \begin{array}{r|l}<br />
      48 & 2  \\<br />
      24 & 2  \\<br />
      12 & 2  \\<br />
       6 & 2  \\<br />
       3 & 3  \\<br />
       1 &<br />
   \end{array}<br />
  ” /></td>
</tr>
<tr>
<td><img src=
\operatorname{mcd}(a,b) = \operatorname{mcd}(b,a - b \left\lfloor {a \over b} \right\rfloor).

En la práctica, este método solo es operativo para números pequeños tomando en general

Usando el mínimo común múltiplo

El máximo común divisor también puede ser calculado usando el mínimo común múltiplo. Si a y b son distintos de cero, entonces el máximo común divisor de a y b se obtiene mediante la siguente fórmula, que involucra el mínimo común múltiplo (mcm) de a y b:

\operatorname{mcd}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\operatorname{mcm}(a,b)}.

MCD de tres o más números

El máximo común divisor de tres números se puede calcular como sigue:  \ \operatorname{mcd}(a,b,c) = \operatorname{mcd}(a, \operatorname{mcd}(b,c)) , aunque hay métodos más prácticos y sencillos.

Método de Nicómaco

Su cálculo se basa en restar el resto, del mayor número entre el menor número, al número menor hasta que nos dé el mismo número:

 

     60 | 48  
     12 | 36  
        | 24  
        | 12  

M.C.D (60,48) = 12
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Publicado por en junio 11, 2012 en 5.Máximo común divisor

 

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